Matemática básica Ejemplos

$a^{5} - 32$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{5} - 32$

Paso 3.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 - 32$

Paso 3.3

Resta $32$ de $32$ .

$0$

Paso 4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $a - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{a^{5} - 32}{a - 2}$

Paso 5

Divide $a^{5} - 32$ por $a - 2$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $a^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $a$ .

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $a^{5} - 2 a^{4}$ .

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 a^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 a^{4} - 4 a^{3}$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 a^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 a^{3} - 8 a^{2}$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

Paso 5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

Paso 5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 a^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

Paso 5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

Paso 5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 a^{2} - 16 a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

Paso 5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

Paso 5.21

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

Paso 5.22

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 a$ por el término de mayor orden en el divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

Paso 5.23

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

Paso 5.24

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 a - 32$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

Paso 5.25

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

$0$

Paso 5.26

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16$

Paso 6

Escribe $a^{5} - 32$ como un conjunto de factores.

$(a - 2) (a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16)$